Quanto custa completar vários álbuns ao mesmo tempo? Pesquisa da UFSM tenta resolver problema matemático sem solução desde 1961

Com 980 cromos, o álbum de figurinhas da Copa do Mundo de 2026 é o maior já lançado pela Panini e também o mais caro para ser completado. Sem trocas, o investimento pode chegar a cerca de R$ 7,3 mil, segundo cálculos matemáticos já conhecidos. Agora, uma pesquisa desenvolvida pelo professor do Departamento de Estatística (DSTC) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Rodrigo Marinho, e pela graduanda em Estatística da UFSM, Maria Eliza Castro, busca responder uma questão ainda mais complexa: quanto é necessário gastar, sem trocas, para completar vários álbuns da Copa ao mesmo tempo?

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"Desde 1961, ninguém conseguiu resolver"

A pesquisa desenvolvida surgiu dentro do grupo de pesquisa Probabilidade e Processos Estocásticos a partir do estudo sobre processos aleatórios e tempo necessário para que determinados sistemas atinjam um estado final. Dentro dessa linha, os pesquisadores passaram a analisar casos chamados “absorventes”, em que o processo termina ao atingir um objetivo, como completar um álbum de figurinhas.

– Nós começamos a olhar esse tipo de processo e descobrimos que tinha um problema superinteressante relacionado ao colecionador de figurinhas – conta Marinho.

A origem mais direta da investigação veio quando o professor encontrou a questão ao acompanhar artigos publicados no ArXiv, plataforma internacional de pré-publicações científicas bastante usada por pesquisadores de matemática, estatística e física.

– Vi esse problema e pensei: “Olha, tem esse problema aqui. Desde 1961 ninguém conseguiu resolver” – relata.

O problema remete ao trabalho clássico dos matemáticos Paul Erdős e Alfréd Rényi, publicado em 1961. A dupla desenvolveu uma fórmula para estimar o comportamento desse tipo de coleção quando o número de figurinhas é muito grande. No entanto, segundo Marinho, essa expressão funciona apenas em casos específicos, especialmente quando o número de álbuns permanece pequeno em relação à quantidade total de cromos.

É justamente esse limite que a pesquisa da UFSM tenta avançar: entender matematicamente quanto é necessário gastar, quando o desafio deixa de ser completar um único álbum e passa a envolver várias coleções ao mesmo tempo, sem a possibilidade de trocas.

O estudo considera que todas as figurinhas têm a mesma probabilidade de aparecer e desconsidera cromos promocionais como os das garrafas da Coca-Cola.

Por que vários álbuns tornam o problema mais difícil

Se completar um único álbum já envolve cálculo de probabilidade, o problema aumenta quando o colecionador tenta preencher duas ou mais coleções ao mesmo tempo. Isso porque figurinhas repetidas deixam de ser descartáveis e passam a ter utilidade em outros álbuns. Marinho explica que, na prática, o reaproveitamento altera o comportamento probabilístico e torna o cálculo mais complexo.

– Se eu tenho dois álbuns, eu posso aproveitar e colar no segundo álbum. Então já começa a ficar mais complexo o problema. E quanto maior o número de álbuns, mais difícil essa conta fica – detalha.

Conforme o professor, a dificuldade está justamente em modelar matematicamente esse reaproveitamento. A lógica usada para estimar o preenchimento de um único álbum já não se aplica de forma direta quando há várias coleções simultâneas.

Como os pesquisadores testam hipóteses

Para analisar esse comportamento, a pesquisa usa simulações computacionais conduzidas pela graduanda em Estatística Maria Eliza.

O método replica o processo de montagem dos álbuns diversas vezes para medir o tempo médio — ou a quantidade média de figurinhas que precisam ser compradas — até completar diferentes quantidades de álbuns.

– Ele pega mil réplicas e conta o tempo dessas mil réplicas e tira a média – explica Maria Eliza.

Depois disso, os pesquisadores comparam os resultados entre três frentes: a média observada nas simulações, a fórmula clássica já conhecida e a nova hipótese matemática desenvolvida pela dupla.

Segundo Marinho, o objetivo é verificar qual modelo representa melhor o comportamento real quando o número de álbuns cresce. 

Resultados iniciais e próximos passos

Os primeiros resultados indicam que a fórmula clássica proposta por Erdős e Rényi começa a perder precisão à medida que o número de álbuns aumenta. Nas comparações feitas a partir das simulações, a diferença entre o resultado teórico e o observado se torna maior conforme mais coleções entram no cálculo.

– Quando começamos a aumentar o número de álbuns, vemos que a razão entre a média observada e a expressão dada pela fórmula deles fica diferente de 1. – afirma Marinho.

Ao mesmo tempo, a hipótese desenvolvida por Maria Eliza e Marinho tem apresentado comportamento mais próximo dos resultados esperados nas simulações.

– Até então, à medida que o número de álbuns aumenta, a nossa hipótese está se comportando bem – diz o professor.

Apesar dos avanços, o principal desafio agora é transformar essa hipótese em uma demonstração matemática que permita calcular, de forma precisa, o valor necessário para completar diferentes quantidades de álbuns. Segundo Marinho, as simulações indicam que o caminho está correto, mas a dificuldade está em desenvolver e provar uma formulação geral que se sustente teoricamente.

A pesquisa deve integrar o Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) de Maria Eliza, com potencial de se desdobrar em estudos futuros, como uma dissertação de mestrado. A dupla afirma que prefere avançar com cautela antes de considerar a solução consolidada.